svm支持向量机原理
2024-05-24
1. svm支持向量机原理
svm支持向量机原理 SVM简介 支持向量机（support vector machines, SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器，间隔最大使它有别于感知机；SVM还包括核技巧，这使它成为实质上的非线性分类器。SVM的的学习策略就是间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划的问题，也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题。SVM的的学习算法就是求解凸二次规划的最优化算法。 SVM算法原理 SVM学习的基本想法是求解能够正确划分训练数据集并且几何间隔最大的分离超平面。如下图所示， w⋅x+b=0 即为分离超平面，对于线性可分的数据集来说，这样的超平面有无穷多个,但是几何间隔最大的分离超平面却是唯一的。
2. 支持向量机（SVM）
参考Jerrylead 和 july-支持向量机通俗导论
再回忆一下逻辑回归：Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而 这个模型是将特征的线性组合作为自变量 ，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用logistic函数（或称作sigmoid函数） 将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率 。
中间那条线是θ T x=0，logistic回归强调 所有点 尽可能地远离中间那条线。学习出的结果也就中间那条线。 但是： 考虑上面3个点A、B和C。从图中我们可以确定A是×类别的， 然而C我们是不太确定的 ，B还算能够确定。这样我们可以得出结论， 我们更应该关心靠近中间分割线的点，让他们尽可能地远离中间线，而不是在所有点上达到最优（引出了下面的函数间隔与几何间隔） 。
我想这就是支持向量机的思路和logistic回归的不同点： 支持向量机考虑局部（不关心已经确定远离的点）， 逻辑回归一个考虑全局（已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离，但是也可能使一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。）
上面已经知道，θ T x=0是分类的线，在svm中，只考虑局部，只考虑θ T x的正负问题，而不用关心g（z）。因此，在这里，用w T x+b代替θ T x，并 对g(z)做一个简化 ，将其简单映射到类别标签y=1和y=-1上。
这里的y取值为1和-1（在svm中，只考虑局部，只考虑θ T x的正负问题），是为了方便定义：在分类正确的情况下，函数间隔（确信度 ）的大小
比如，在分类正确的情况下，y等于1，wx+b应该为正数越大，则情况越好，是正例的确定度就越大。就如上图的A点。y等于-1，wx+b应该为负数越大，则情况越好是负例的确信度就越大。
所以， 函数间隔越大，说明分类正确的置信度越大。函数间隔越小 ，比如上图c点，说明越不能确定c点属于哪一类。
可以为 别的值，只是为了方便。这一点在参考的第二个博客上也已经说明了。
由上面解释，已知可以用y(wT x + b) 的正负性来判定（或表示）分类的正确性。
定义函数间隔如下：
也就是，这个样本点x与超平面之间的间隔（但是现在有些不准确，所以有下面的几何间隔）。
此时，若根据SVM的思想，最大化这个间隔，就能提高分类正确的确信度了吗？
答案是否定的，因为，如果成比例的改变w 和b（如将它们改成2w 和2b），则函数间隔的值f(x) 却变成了原来的2 倍（ 虽然函数值增大了，达到了目标，但是此时超平面没有改变 ），所以只有函数间隔还远远不够。
我们真正关心的，其实是“几何上”的点到平面的距离，于是可以用几何知识推理出来的几何间隔。 而不是一开始人们想当然定义的函数间隔。
事实上，我们可以对法向量w 加些约束条件（ 这就是调优问题的思考了 )，从而引出真正定义点到超平面的距离——几何间隔（geometrical margin）的概念。
又因为x 0 是超平面w T x + b=0上的点，利用向量之间的运算
再令上式乘上对应的类别y，即可得出几何间隔
从上述函数间隔和几何间隔的定义可以看出：几何间隔就是函数间隔除以∥w∥，而 函数间隔实际上就是，只是人为定义的一个间隔度量，而几何间隔才是直观上的点到超平面的距离。
接下来就是我们的目标：寻找一个超平面， 使得离超平面比较近的点能有更大的间距。 也就是我们不考虑所有的点都必须远离超平面，我们关心求得的超平面能够让所有点中离它最近的点具有最大间距。也就是找到最大的几何间隔。
由上一小节可以知道，我们这里要找的最大间隔分类超平面中的“间隔”指的是几何间隔。
上面两个式子的意思是（ 注意，函数间距上面是折线，几何间距上面是波浪线 ）： 最大化几何间隔 约束条件是，每个样例的函数间隔都要大于全局的那一个函数间隔（也就是所有训练集里的最小的那个）
用函数间隔表示几何间隔
于是得到了这个式子：
然而这个时候目标函数不是凸函数，约束条件也不是线性的，没法直接代入优化软件里计算。我们还要改写。前面说到 同时扩大w和b对结果没有影响 ，因此，我们将全局的函数间隔值定义为1。于是，上述的函数转变成了
由于求1/||w||的最大值，相当于求||w||²的最小值，因此结果为：
因为现在的 目标函数是二次的，约束条件是线性的，所以它是一个凸二次规划问题 。这个问题可以用现成的QP (Quadratic Programming) 5优化包进行求解。一言以蔽之：在一定的约束条件下，目标最优，损失最小。
根据前面几个文章的话，SVM作为判别模型，它的的模型，就是 w T x i + b 。参数就是w和b。学习完参数以后，新来的样例作为x i ，得到结果大于1，说明在超平面上面，所以是正例。反之亦然。
根据SVM的思想，SVM的初步目标函数，就是所有样例的几何间隔尽可能的大
至此，得到了SVM的目标函数，算是初步解决了SVM的这个问题，用优化包求解得到wb，即可得到具有最大几何间距的超平面，提高分类每个点的确信度，分类目标完成。
接下来介绍的是手工求解w和b的方法了，一种更优的求解方法。
从上可以看出 ，就同时扩大w和b就相当于等式两边同时除以函数间隔 γ，而新的w和b仍然是旧的wb的函数，所以最大化仍然可以进行。
效果等价于，令函数间隔γ=1，综上所述，零γ=1是合理的，而且也方便了原优化问题的计算 。
由拉格朗日对偶（线性可分条件下SVM的对偶算法）引入核函数（非线性可分条件下SVM的算法）
上一篇说到，得到了 如下的线性可分的SVM的目标函数 ，可以利用优化包进行求解。
此外，由于这个问题的特殊结构，还可以通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量(dual variable) 的优化问题，即通过求解与原问题等价的对偶问题（dual problem）得到原始问题的最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法。
引入对偶的优点：
因为 引入拉格朗日算子可以求出极值。 （参考最优化方法的解释）
这种极值问题怎么求
首先，同样定义拉格朗日公式，希望可以利用拉格朗日算子法求得最优解，得到：
但是，出现问题了，此时加入的约束条件g已经不再等于0了，所以，此时可以调整算子alpha变成很大很大的 值，使结果负无穷， 这显然是不合理的。
所以，我们需要 排除在满足条件下，也会无解的情况。
因此，我们定义下面的函数
要看这个函数有什么优点，就要看看这个函数相比于L(ω,α,b)有什么变化： 加了max，加了α I 大于等于零。
所以，当g和h不满足约束时，总可以调整α i 和β i 来使thetap具最大值为正无穷。
只有当g和h满足约束时，此时g<0，我们可以调整α i 和β i （使α i 等于0，β i 任意），得到最大值，即θ p =f(w)。
于是函数等价于这样
于是原来的极值问题min f(w) 就等价于求min θ p 了， 即：
也就是说，最小化 θ p ，就是为了得到最小的 f(w)，而能有f(w)就说明了满足约束条件。所以这个等价于原来的极值问题。
至此， 相比于拉格朗日公式L(ω,α,b)，现在即加入了拉格朗日算子，又排除了纯粹的拉格朗日公式中出现无穷的情况。
但是，又出现了新的问题，也就是，如果直接求解，首先面对的就是两个参数（最里面的是max，这个max问题有两个参数），而且alpha也是不等式约束，再在w上求最小值，这个过程并不容易做。那么应该怎么办呢？
在最优化课程里，当遇到不好解的优化问题时，可以转化为原问题的对偶问题试试。 此处，d代表对偶。D--dual
我们定义函数
θ D 将问题转化为先求L(ω,α,b)关于 ω 的最小值（此时α和β是固定值），之后再求θ D 的最大值。 上来面对的是一个参数，相对简单些。
相对于原问题，更换了min和max的顺序，得到了它的对偶问题。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一般的更换顺序的结果是MaxMin(X) <= MinMax(X)。也就是，此时有
对偶问题已经表示出来了，这个对偶问题也相对原问题好求，那么，这两个问题等价吗？或者说，对偶问题的解是不是原问题的解呢？
需要用KKT条件来判断了。
对于拉格朗日算子的深入理解可以看看《最优化方法》，讲义的最后一页。
含有不等式约束的问题，常常 用KKT条件求得候选最优解
对于一般化的拉格朗日公式：
最优值 w 必须满足以下三个条件：
----------1、L对 w 求导为零 ----------2、h(w)=0 ----------3、α i g i =0 ，i = 1，...，k
注意此时
第三个条件表明了KKT的思想：极值会在可行域边界取得。 ----解释： -----对于一个特定的自变量w1，当自变量w1在 第 i 个 可行域边界（g i (w1)=0）时，说明此时这个约束是起到了作用的。 这个约束是w1被g i 约束了。此时只能到g i 的平面上（即边界），再多就出界了。。。 而对于最优解来说，就是f(w)达到最优，所以L中，除了f(w)部分，其余应该都等于0，所以此时α>0(或许等于零也可以？疑问）
----而此时，w1在其他的约束条件g 非i 下，有g 非i (w1)<0），说明W1可以随意些，说明此时这个约束并没有起到作用，但是作为最优解，为了 除了f(w)部分，其余应该都等于0 ，所以其系数α应该等于零。
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注意：这个是传统最优化问题的一般式，这个问题有k个不等式约束方程，所有的点都要满足这k个不等式约束。 。假设有一百个样本点，只有有三个极值N1，N2，N3，那么说明其余97个点带入这k个方程中去都会小于零。 另外对于这三个极值点，可能会有g i (N1) = 0,除了第i个g以外，g(N1)都小于0 。然后对于极值N2，g j (N2)=0，除了第j个约束以外，其余的g(N2)都小于0。
而本节一开始讨论的问题，只有一个约束方程（因为参数只有w和b）即：y（w T x+b）>=1，所有的点（一共m个）都要满足这个约束方程。 而关于为什么非支持向量的系数alpha会等于零呢？也就是相当于前面的，k=1（有k个约束条件）的情况下，m个样本点中，非支持向量的约束g<0，为了最优解，除了f(w)应该都等于零，所以alpha应该等于零。
另外可以参考这段话：
即，若d* = p* x * 满足KKT条件
由上面那句话可以知道，
折腾这么长时间，也就是为了说明，已经知道原问题
是凸优化问题，所以，只要对偶问题的自变量w满足了KKT条件，那么它就是对偶问题的最优解w * ，同时也是原问题的最优解了。
所以，由上可知，只要解出了2.1.3中的问题的参数w和b，也就是原问题的解了。
重新回到SVM的优化问题（其中每个约束式实际就是一个训练样本）：
我们将约束条件改写为拉格朗日的形式：
由KKT条件可知，只有当函数间隔是1（g=0）的时候，α i >0。此时，这个样例 w i 在约束平面上受到约束 。对于其它的不在线上的样例点（g<0），极值不会在其范围内去的，所以这些样例点前面的系数α i =0.
实线是最大间隔超平面，假设×号的是正例，圆圈的是负例。在虚线上的点就是函数间隔是1的点，他们前面的系数α i >0， 这三个点被称作 支持向量。
由上面问题，构造拉格朗日函数如下（没有等式约束，所以没有β）：
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下面我们按照对偶问题的求解步骤来一步步进行，由2.1.3可知，对偶问题的形式为：
首先求解L的最小值（最里面的先求），此时αi是固定的，L的最小值只与w和b有关。对w和b分别求偏导数。
得到
将上式带回到拉格朗日函数中得到，此时得到的是该函数的最小值（目标函数是凸函数）， 即里面的min L已经求出，接下来就是求max了 代入后，化简过程如下：
最后得到
由于最后一项是0，因此简化为
这里，上式中左右边的向量内积，用方括号表示。
到这一步，拉格朗日函数只包含了一个变量α i 。接着进行下一步 ，最大化的过程，求得α i 。
假设求得了α i 就能根据求导得到的结果
求得w，然后就能得到b。
b 就是 距离超平面最近的正的函数间隔要等于离超平面最近的负的函数间隔。 （其实，由前面的那个x和圈的图，可以认为b就是截距，这个截距b等于上下两条虚线的截距的平均值。）
注意，这里的w，b，alpha都是 向量，都是m维的向量
至于这里的α怎么求得，即上面的最大化问题怎么求解，将留给下一篇中的SMO算法来阐明。
也就是说，手动解的话，还是需要利用SMO算法，求得α才行。
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这里考虑另外一个问题，由于前面求解中得到
用α i 代替w带入判别模型w T x+b，得到：
也就是说， 利用判别模型对新来样本进行判别时 ，以前新来的要分类的样本首先根据w和b做一次线性运算，然后看求的结果是大于1还是小于1来判断正例还是负例。大于1，说明在超平面的上面，说明是正例。同理，小于1说明在超平面的下面，说明是负例。
约束条件是wx+b-1小于等于零，所以判断就是wx+b与1进行大小比较
现在有了alpha，不需要求出w （那b呢，b怎么求呢，前面已经解释，b是由离超平面最近的间隔和负的函数间隔相等。。。得到的。所以，将新来的样本与训练数据中 支持向量 做内积以后，再确定最大的正数函数间隔以及最小的负数函数间隔，即可。）
就冲上面这段话，支持向量的系数alpha，也不能等于0。
另外，那有人会说，与前面所有的样本都做运算是不是太耗时了？其实不然，我们从KKT条件中得到，只有支持向量的α i >0 （不等于零）其他情况α i 是等于零的。 比如，像前面那个x和圈的图，新来的样本只需要和三个支持向量做运算即可 。
由此可以看到，求出α i 以后，只需要利用支持向量，就可以来判断新来的样例是正例还是负例了。也许这也是是为什么叫支持向量机吧。
上面这个公式，为下面要提到的核函数（kernel）做了很好的铺垫。
下面，先把没求得的alpha放一放，趁着刚刚得到的这个公式的热乎劲，再去看看核函数。
3. 支持向量机（SVM）
支持向量机（support vector machine），故一般简称SVM，通俗来讲，它是一种二分类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，这族分类器的特点是他们能够同时最小化经验误差与最大化几何边缘区，因此支持向量机也被称为最大边缘区分类器。其学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。SVM在很多诸如文本分类，图像分类，生物序列分析和生物数据挖掘，手写字符识别等领域有很多的应用。
支持向量机将向量映射到一个更高维的空间里，在这个空间里建立有一个最大间隔超平面。在分开数据的超平面的两边建有两个互相平行的超平面，分隔超平面使两个平行超平面的距离最大化。假定平行超平面间的距离或差距越大，分类器的总误差越小。
假设给定一些分属于两类的2维点，这些点可以通过直线分割， 我们要找到一条最优的分割线，如何来界定一个超平面是不是最优的呢?
如图：
在上面的图中，a和b都可以作为分类超平面，但最优超平面只有一个，最优分类平面使间隔最大化。 那是不是某条直线比其他的更加合适呢? 我们可以凭直觉来定义一条评价直线好坏的标准:
距离样本太近的直线不是最优的，因为这样的直线对噪声敏感度高，泛化性较差。 因此我们的目标是找到一条直线（图中的最优超平面），离所有点的距离最远。 由此， SVM算法的实质是找出一个能够将某个值最大化的超平面，这个值就是超平面离所有训练样本的最小距离。这个最小距离用SVM术语来说叫做间隔(margin) 。
描述：给定一些数据点，它们分别属于两个不同的类，现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类。如果用x表示数据点，用y表示类别（y可以取1或者-1，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在n维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane），这个超平面的方程可以表示为（ wT中的T代表转置）：
例如：现在有一个二维平面，平面上有两种不同的数据，分别用圈和叉表示。由于这些数据是线性可分的，所以可以用一条直线将这两类数据分开，这条直线就相当于一个超平面，超平面一边的数据点所对应的y全是-1 ，另一边所对应的y全是1。
我们令分类函数为：
当f(x) 等于0的时候，x便是位于超平面上的点，而f(x)大于0的点对应 y=1 的数据点，f(x)小于0的点对应y=-1的点，如下图所示：
一个点距离超平面的远近可以表示分类预测的确信或准确程度，如何确定这个超平面呢？从直观上而言，这个超平面应该是最适合分开两类数据的直线。而判定“最适合”的标准就是这条直线离直线两边的数据的间隔最大。所以，得寻找有着最大间隔的超平面。
补充知识点： 点到平面的距离
支持向量机学习的基本想法是求解能够正确划分训练数据集并且几何间隔最大的分离超平面.。对线性可分的训练数据集而言，线性可分分离超平面有无穷多个(等价于感知机)，但是几何间隔最大的分离超平面是唯一的。这里的间隔最大化又称为硬间隔最大化。
间隔最大化的直观解释是:对训练数据集找到几何间隔最大的超平面意味着以充分大的确信度对训练数据进行分类。也就是说，不仅将正负实例点分开，而且对最难分的实例点(离超平面最近的点)也有足够大的确信度将它们分开。这样的超平面应该对未知的新实例有很好的分类预测能力。
按照我们前面的分析，对一个数据点进行分类， 当它的margin越大的时候，分类的confidence越大。 对于一个包含n个点的数据集，我们可以很自然地定义它的margin为所有这n个点的margin值中最小的那个。于是，为了使得分类的confidence高，我们希望所选择的超平面hyper plane能够最大化这个margin值。让所选择的超平面能够最大化这个“间隔”值，这个间隔就是下图中的Gap的一半：
为什么用几何间隔求最大的分离超平面而不用函数间隔？
例题：
我们构造了约束最优化问题，就是下面这个：
此外，由于这个问题的特殊结构，还可以通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量 (dual variable) 的优化问题，即通过求解与原问题等价的对偶问题（dual problem）得到原始问题的最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。
补充知识点： 拉格朗日乘子法学习
拉格朗日KKT条件
KKT条件介绍
拉格朗日对偶
通过给每一个约束条件加上一个拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）α，定义拉格朗日函数（通过拉格朗日函数将约束条件融合到目标函数里去，从而只用一个函数表达式便能清楚的表达出我们的问题）：
求解这个式子的过程需要拉格朗日对偶性的相关知识。
例题：
接下来谈谈线性不可分的情况，因为 线性可分这种假设实在是太有局限性 了。下图就是一个典型的线性不可分的分类图，我们没有办法用一条直线去将其分成两个区域，每个区域只包含一种颜色的点。
要想在这种情况下的分类器，有两种方式， 一种是用曲线 去将其完全分开，曲线就是一种 非线性 的情况，跟之后将谈到的 核函数 有一定的关系：
另外一种还是用直线，不过不用去保证可分性 ，就是包容那些分错的情况，不过我们得加入惩罚函数，使得点分错的情况越合理越好。其实在很多时候，不是在训练的时候分类函数越完美越好，因为训练函数中有些数据本来就是噪声，可能就是在人工加上分类标签的时候加错了，如果我们在训练（学习）的时候把这些错误的点学习到了，那么模型在下次碰到这些错误情况的时候就难免出错了。这种学习的时候学到了“噪声”的过程就是一个过拟合（over-fitting），这在机器学习中是一个大忌。
我们可以为分错的点加上一点惩罚，对一个分错的点的 惩罚函数 就是 这个点到其正确位置的距离：
对于线性不可分的情况，我们可以用核函数让空间从原本的线性空间变成一个更高维的空间 ， 在这个高维的线性空间下，再用一个超平面进行划分 。 这儿举个例子，来理解一下如何利用空间的维度变得更高来帮助我们分类的：
上图是一个线性不可分的图，当我们把这两个类似于椭圆形的点映射到一个高维空间后，映射函数为：
用这个函数可以将上图的平面中的点映射到一个三维空间（z1,z2,z3)，并且对映射后的坐标加以旋转之后就可以得到一个线性可分的点集了。
形象说明：例如世界上本来没有两个完全一样的物体，对于所有的两个物体，我们可以通过增加维度来让他们最终有所区别，比如说两本书，从(颜色，内容)两个维度来说，可能是一样的，我们可以加上作者这个维度，是在不行我们还可以加入页码，可以加入拥有者，可以加入购买地点，可以加入笔记内容等等。当维度增加到无限维的时候，一定可以让任意的两个物体可分了。
核函数定义：
核技巧在支持向量机中的应用：
常用核函数：
非线性支持向量机学习算法：
支持向量机的学习问题可以形式化为求解凸二次规划问题。这样的凸二次规划问题具有全局最优解，并且有许多最优化算法可以用于这一一问题的求解。但是当训练样本容量很大时，这些算法往往变得非常低效，以致无法使用。所以，如何高效地实现支持向量机学习就成为一一个重要的问题。目前人们已提出许多快速实现算法.本节讲述其中的序列最小最优化(sequential minimal optimization, SMO)算法。
上述问题是要求解N个参数(α1,α2,α3,...,αN)，其他参数均为已知，序列最小最优化算法(SMO)可以高效的求解上述SVM问题，它把原始求解N个参数二次规划问题分解成很多个子二次规划问题分别求解，每个子问题只需要求解2个参数，方法类似于坐标上升，节省时间成本和降低了内存需求。每次启发式选择两个变量进行优化，不断循环，直到达到函数最优值。
整个SMO算法包括两部分，求解两个变量的 二次规划 问题和选择这两个变量的 启发式 方法。
上面求得的(α1)new和(α2)new是在η>0的情况下求得的：
当时为了推导公式我们直接默认它是大于0了，现在我们需要重新审视这一项（η）。这一项是原来关于的二次项的系数。我们可以分下面三种情况讨论：
（1）当η>0时 ：这个二次函数开口向上，所以要求这个二次函数的最小值，如果说极值点不在计算出的可行域的范围内，就要根据这个极值点和可行域边界值的关系来得到取最小值的地方：
①如果这个极值点在可行域左边，那么我们可以得到这个可行域内二次函数一定在单增，所以此时L应该是那个取最小值的地方。就如大括号的第三种情况。
②如果这个极值点在可行域右边，那么此时可行域内一定单减，所以此时H就是那个取最小值的地方，就是大括号里的第一种情况。
（2）当η=0时： 这个二次函数就变成了一个一次函数，那么不管这个一次函数的单调性怎样，最小值一定是在边界处取到。所以到时候计算可行域的两个边界的值，看哪个小就用哪个。
（3）当η<0时: 这个二次函数开口向下，那么此时怎么得到取最小值的点呢？很容易就能想到：最小值也是在可行域的边界处取到。很容易理解，此时开口向下，当极值点在区间内时，最小值只能在端点处取，因为极值点处是最大的。而当极值点在区间外时，区间内一定是单调的，此时最小值也只能在端点处取。通过计算比较边界处的目标函数值，哪个小取哪个。
通过以上判断求出(α2)new以后，再根据公式求出(α1)new，然后带入目标函数（1）中。即如下过程：
上述分析是在从N个变量中已经选出两个变量进行优化的方法，下面分析如何高效地选择两个变量进行优化，使得目标函数下降的最快。
4. 支持向量机原理
支持向量机方法的基本思想是：定义最优线性超平面，并把寻找最优线性超平面的算法归结为求解一个凸规划问题。进而基于Mercer核展开定理，通过非线性映射φ，把样本空间映射到一个高维乃至于无穷维的特征空间（Hilbert空间），使在特征空间中可以应用线性学习机的方法解决样本空间中的高度非线性分类和回归等问题（Nello Cristianini，2005）。简单地说就是升维和线性化。一般的升维都会带来计算的复杂化。这里自然发生的两个问题是如何求得非线性映射φ和解决算法的复杂性。SVM方法巧妙地解决了这两个难题：由于应用了核函数的展开定理，所以根本不需要知道非线性映射的显式表达式；由于是在高维特征空间中应用线性学习机的方法，所以与线性模型相比不但几乎不增加计算的复杂性，而且在某种程度上避免了“维数灾”。另外，SVM是一种有坚实理论基础的新颖的小样本学习方法。它基本上不涉及概率测度的定义及大数定律等，因此不同于现有的统计方法。从本质上看，它避开了从归纳到演绎的传统过程，实现了高效的从训练样本到预报样本的“转导推理”（transductive inference），大大简化了通常的分类和回归等问题。SVM的最终决策函数只由少数的支持向量所确定，计算的复杂性取决于支持向量的数目，而不是样本空间的维数，这在某种意义上避免了“维数灾”。如果说神经网络方法是对样本的所有因子加权的话，SVM方法是对只占样本集少数的支持向量样本“加权”。当预报因子与预报对象间蕴涵的复杂非线性关系尚不清楚时，基于关键样本的方法可能优于基于因子的“加权”。少数支持向量决定了最终结果，这不但可以帮助我们抓住关键样本、“剔除”大量冗余样本，而且注定了该方法不但算法简单，而且具有较好的“鲁棒”性。由于有较为严格的统计学习理论做保证，应用SVM方法建立的模型具有较好的推广能力。SVM方法可以给出所建模型的推广能力的确定的界，这是目前其它任何学习方法所不具备的。 随着支持向量机理论的深入研究，出现了许多变种的支持向量机，如Sheng-wei Fe（2009）提出的两类重要的预测技术：分类和回归。其中分类问题预测要求观察值是离散的，而回归问题主要针对决策属性值是连续的情况，它通过学习训练样本集建立一个回归器，然后在条件属性给定的情况下进行预测。 支持向量机回归分为线性回归和非线性回归，其原理如下： （1）支持向量机线性回归 设样本集为：（x1，y1），…，（xi，yi），x∈Rn，y∈R，回归函数用下列线性方程来表示： f（x）=w·x＋b （4.14） 假设所有训练数据在ε精度下如图4.5所示无误差地用线性函数拟合，即 基坑降水工程的环境效应与评价方法 图4.5 支持向量机回归 考虑到允许误差的情况，引入松弛因子ξi， ，则式（4.13）变为 基坑降水工程的环境效应与评价方法 其中常数C＞0，表示对超出误差ε的样本的惩罚程度，ξi， 为松弛变量的上限与下限。为此构造拉格朗日函数： 基坑降水工程的环境效应与评价方法 得到其对偶问题为： 基坑降水工程的环境效应与评价方法 基坑降水工程的环境效应与评价方法 基坑降水工程的环境效应与评价方法 可以得到回归函数为： 其中，αi， 将只有一小部分小为零，它们对应的样本就是支持向量。 （2）支持向量机非线性回归 以上讨论的是线性问题，对于非线性问题，把输入样本xi通过ψ：x→H映射到高维特征空间H（可能是无穷维）。当在特征空间中构造最优超平面时，实际上只需进行内积运算，而这种内积运算是可以用原空间中的函数来实现的，没有必要知道ψ的形式。因为只要核函数K（xi，xj）满足Mercer条件，它就对应某一变换空间的内积即K（xi，xj）=ψ（i）·ψ（xj）。这一点提供了可能导致的“维数灾难”问题解决方法。 由线性支持向量回归可知，二次规划的拉格朗日目标函数： 基坑降水工程的环境效应与评价方法 其对偶形式： 基坑降水工程的环境效应与评价方法 可以得到回归函数为： 基坑降水工程的环境效应与评价方法 传统的拟合方法通常是在线性方程后面加高阶项。由此增加的可调参数增加了过拟合的风险。支持向量回归用核函数即能作非线性回归，达到了“升维”的目的，增加的可调参数很少，过拟合仍能控制。
5. 12、核支持向量机SVM
核支持向量机kernelized support vector machine，支持就是重要的意思，向量就是点，机就是机器，即重要的点。 位于类别之间边界上的那些点，这些点叫作支持向量。想要对新样本点进行预测，需要测量它与每个支持向量之间的距离。 核支持向量机可用于回归SVR和分类SVC。
下面利用乳腺癌数据集对模型进行训练：
输出
训练集的精度为1，但测试集精度只有63%，存在过拟合。SVM要求所有特征有相似的变化范围，乳腺癌数据集的特征具有不同的量级，对核SVM有很大的影响，我们对每个特征进行缩放，使其大致都位于同一范围，如将所有特征缩放到0和1之间（每一个数-最小值/范围，注意测试集也是采用训练集的最小值和范围的标准）。
输出
因为训练集和测试集的性能非常接近，但还没有接近100%的精度，所以模型还是处于欠拟合的状态。我们可以尝试增大C或gamma来拟合更为复杂的模型。 gamma是控制高斯核宽度的参数，它决定了点与点之间靠近是指多大的距离，gamma越小，更多的点被看作比较靠近。C是正则化参数，它限制每个特征的重要性（确切的说每个点的dual_coef_）。两个参数的设定通常是强烈相关的，应该同时调节。默认情况下，C=1，gamma=1。
输出
增大C显著改进了模型，得到了97%的精度。
SVM允许决策边界很复杂，即使数据只有几个特征，它在低维数据和高维数据（即很少特征和很多特征）上的表现都很好。
缺点：1 需要进行数据预处理，对数据的缩放和参数的设定非常敏感，所以数据预处理和调参都需要非常小心。这也是为什么如今很多应用中用的都是基于树的模型，比如随机森林或梯度提升（需要很少的预处理，甚至不需要预处理）。 2 SVM模型很难检查，也很难解释为什么会这么预测，难以将模型向非专家进行解释。
6. 支持向量机原理
支持向量机原理SVM简介
支持向量机（support vector machines, SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器，间隔最大使它有别于感知机；SVM还包括核技巧，这使它成为实质上的非线性分类器。SVM的的学习策略就是间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划的问题，也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题。SVM的的学习算法就是求解凸二次规划的最优化算法。
SVM算法原理
SVM学习的基本想法是求解能够正确划分训练数据集并且几何间隔最大的分离超平面。如下图所示， \boldsymbol{w}\cdot x+b=0 即为分离超平面，对于线性可分的数据集来说，这样的超平面有无穷多个（即感知机），但是几何间隔最大的分离超平面却是唯一的。
在推导之前，先给出一些定义。假设给定一个特征空间上的训练数据集
T=\left\{ \left( \boldsymbol{x}_1,y_1 \right) ,\left( \boldsymbol{x}_2,y_2 \right) ,...,\left( \boldsymbol{x}_N,y_N \right) \right\}
其中， \boldsymbol{x}_i\in \mathbb{R}^n ， y_i\in \left\{ +1,-1 \right\} ,i=1,2,...N ， x_i 为第 i 个特征向量， y_i 为类标记，当它等于+1时为正例；为-1时为负例。再假设训练数据集是线性可分的。
几何间隔：对于给定的数据集 T 和超平面 w\cdot x+b=0 ，定义超平面关于样本点 \left( x_i,y_i \right) 的几何间隔为
\gamma _i=y_i\left( \frac{\boldsymbol{w}}{\lVert \boldsymbol{w} \rVert}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+\frac{b}{\lVert \boldsymbol{w} \rVert} \right)
超平面关于所有样本点的几何间隔的最小值为
\gamma =\underset{i=1,2...,N}{\min}\gamma _i
实际上这个距离就是我们所谓的支持向量到超平面的距离。
根据以上定义，SVM模型的求解最大分割超平面问题可以表示为以下约束最优化问题
\underset{\boldsymbol{w,}b}{\max}\ \gamma
s.t.\ \ \ y_i\left( \frac{\boldsymbol{w}}{\lVert \boldsymbol{w} \rVert}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+\frac{b}{\lVert \boldsymbol{w} \rVert} \right) \ge \gamma \ ,i=1,2,...,N
将约束条件两边同时除以 \gamma ，得到
y_i\left( \frac{\boldsymbol{w}}{\lVert \boldsymbol{w} \rVert \gamma}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+\frac{b}{\lVert \boldsymbol{w} \rVert \gamma} \right) \ge 1
因为 \lVert \boldsymbol{w} \rVert \text{，}\gamma 都是标量，所以为了表达式简洁起见，令
\boldsymbol{w}=\frac{\boldsymbol{w}}{\lVert \boldsymbol{w} \rVert \gamma}
b=\frac{b}{\lVert \boldsymbol{w} \rVert \gamma}
得到
y_i\left( \boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+b \right) \ge 1,\ i=1,2,...,N
又因为最大化 \gamma ，等价于最大化 \frac{1}{\lVert \boldsymbol{w} \rVert} ，也就等价于最小化 \frac{1}{2}\lVert \boldsymbol{w} \rVert ^2 （ \frac{1}{2} 是为了后面求导以后形式简洁，不影响结果），因此SVM模型的求解最大分割超平面问题又可以表示为以下约束最优化问题
\underset{\boldsymbol{w,}b}{\min}\ \frac{1}{2}\lVert \boldsymbol{w} \rVert ^2
s.t.\ \ y_i\left( \boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+b \right) \ge 1,\ i=1,2,...,N
这是一个含有不等式约束的凸二次规划问题，可以对其使用拉格朗日乘子法得到其对偶问题（dual problem）。
首先，我们将有约束的原始目标函数转换为无约束的新构造的拉格朗日目标函数
L\left( \boldsymbol{w,}b,\boldsymbol{\alpha } \right) =\frac{1}{2}\lVert \boldsymbol{w} \rVert ^2-\sum_{i=1}^N{\alpha _i\left( y_i\left( \boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+b \right) -1 \right)}
其中 \alpha _i 为拉格朗日乘子，且 \alpha _i\ge 0 。现在我们令
\theta \left( \boldsymbol{w} \right) =\underset{\alpha _{_i}\ge 0}{\max}\ L\left( \boldsymbol{w,}b,\boldsymbol{\alpha } \right)
当样本点不满足约束条件时，即在可行解区域外：
y_i\left( \boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+b \right) <1
此时，将 \alpha _i 设置为无穷大，则 \theta \left( \boldsymbol{w} \right) 也为无穷大。
当满本点满足约束条件时，即在可行解区域内：
y_i\left( \boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+b \right) \ge 1
此时， \theta \left( \boldsymbol{w} \right) 为原函数本身。于是，将两种情况合并起来就可以得到我们新的目标函数
\theta \left( \boldsymbol{w} \right) =\begin{cases} \frac{1}{2}\lVert \boldsymbol{w} \rVert ^2\ ,\boldsymbol{x}\in \text{可行区域}\\ +\infty \ \ \ \ \ ,\boldsymbol{x}\in \text{不可行区域}\\ \end{cases}
于是原约束问题就等价于
\underset{\boldsymbol{w,}b}{\min}\ \theta \left( \boldsymbol{w} \right) =\underset{\boldsymbol{w,}b}{\min}\underset{\alpha _i\ge 0}{\max}\ L\left( \boldsymbol{w,}b,\boldsymbol{\alpha } \right) =p^*
看一下我们的新目标函数，先求最大值，再求最小值。这样的话，我们首先就要面对带有需要求解的参数 \boldsymbol{w} 和 b 的方程，而 \alpha _i 又是不等式约束，这个求解过程不好做。所以，我们需要使用拉格朗日函数对偶性，将最小和最大的位置交换一下，这样就变成了：
\underset{\alpha _i\ge 0}{\max}\underset{\boldsymbol{w,}b}{\min}\ L\left( \boldsymbol{w,}b,\boldsymbol{\alpha } \right) =d^*
要有 p^*=d^* ，需要满足两个条件：
① 优化问题是凸优化问题
② 满足KKT条件
首先，本优化问题显然是一个凸优化问题，所以条件一满足，而要满足条件二，即要求
\begin{cases} \alpha _i\ge 0\\ y_i\left( \boldsymbol{w}_{\boldsymbol{i}}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+b \right) -1\ge 0\\ \alpha _i\left( y_i\left( \boldsymbol{w}_{\boldsymbol{i}}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+b \right) -1 \right) =0\\ \end{cases}
为了得到求解对偶问题的具体形式，令 L\left( \boldsymbol{w,}b,\boldsymbol{\alpha } \right) 对 \boldsymbol{w} 和 b 的偏导为0，可得
\boldsymbol{w}=\sum_{i=1}^N{\alpha _iy_i\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}}
\sum_{i=1}^N{\alpha _iy_i}=0
将以上两个等式带入拉格朗日目标函数，消去 \boldsymbol{w} 和 b ， 得
L\left( \boldsymbol{w,}b,\boldsymbol{\alpha } \right) =\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N{\sum_{j=1}^N{\alpha _i\alpha _jy_iy_j\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{j}} \right)}}-\sum_{i=1}^N{\alpha _iy_i\left( \left( \sum_{j=1}^N{\alpha _jy_j\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{j}}} \right) \cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}+b \right) +}\sum_{i=1}^N{\alpha _i}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N{\sum_{j=1}^N{\alpha _i\alpha _jy_iy_j\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\cdot \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{j}} \right)}}+\sum_{i=1}^N{\alpha _i}
即
\underset{\boldsymbol{w,}b}{\min}\ L\left( \boldsymbol{w,}b,\boldsymbol{\alpha } \right) =-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N{\sum_{j=1}^N{\alpha _i\al
7. 支持向量机的基本原理
支持向量机的主要思想是：建立一个最优决策超平面，使得该平面两侧距离该平面最近的两类样本之间的距离最大化，从而对分类问题提供良好的泛化能力。 对于一个多维的样本集，系统随机产生一个超平面并不断移动，对样本进行分类，直到训练样本中属于不同类别的样本点正好位于该超平面的两侧，满足该条件的超平面可能有很多个，SVM正式在保证分类精度的同时，寻找到这样一个超平面，使得超平面两侧的空白区域最大化。 支持向量机中的支持向量是指训练样本集中的某些训练点，这些点最靠近分类决策面，是最难分类的数据点。SVM中最优分类标准就是这些点距离分类超平面的距离达到最大值；“机”是机器学习领域对一些算法的统称，常把算法看做一个机器，或者学习函数。 SVM是一种有监督的学习方法，主要针对小样本数据进行学习、分类和预测，类似的根据样本进行学习的方法还有决策树归纳算法等。 支持向量机的应用实例 支持向量机是一种监督模式识别和机器学习方法，采用最大分类间隔准则实现有限训练样本情况下推广能力的优化。 通过核函数间接实现非线性分类或函数回归，支持向量机通常简写作SVM。 支持向量机使用铰链损失函数计算经验风险并在求解系统中加入了正则化项以优化结构风险，是一个具有稀疏性和稳健性的分类器。 支持向量机可以通过核方法进行非线性分类，是常见的核学习方法之一。 支持向量机在人像识别、文本分类等模式识别问题中有得到应用。
8. 支持向量机
支持向量机(Suport Vector Machine,常简称为SVM），是一个监督式学习的方式。支持向量机属于一般化线性分类器，这类分类器的特点是能够同时最小化经验误差与最大化几何边缘区，因此支持向量机机也被称为最大边缘区分类器。
蓝色和红色的线圈出来的点就是所谓的支持向量，离分界线最近的点，如果去掉这些点，直线多半要改变位置。Classifier Boundary就是决策函数f(x)，在两个类的中间。红色和蓝色之间的间隙就是我们要的最大化分类的间隙。
有拉格朗日乘子法的地方，必然是一个组合优化问题。比如
这是一个带等式约束的优化问题，有目标值，有约束条件，不能直接求导。可以使用拉格朗日方法，把这个约束乘以一个系数加到目标函数中去，这样相当与既考虑了原目标函数，也考虑了约束条件。然后分别对x求导等于0， 把它带点菜约束条件中去，可以看到，2个变量两个等式，最终可再带回去求x就可以了。更高一层，带有不等式的约束问题怎么办？需要用更一般化的拉格朗日乘子法，即KKT条件，来求解这个问题。
任何原始问题约束条件无非最多三种，等式约束，大于号约束，小于号约束，而这三种最终通过将约束方程简化成两类：约束方程等于0和约束方程小于0。
假设原始问题约束条件为下例所示： 那么把约束条件变个样子 现在拿到目标函数中去变成
那么KKT条件的定理是什么呢？就是如果一个优化问题在转变成 其中g是不等式约束，h是等式约束。那么KKT条件就是函数的最优值，它必定满足下面条件：
这三个等式很好理解，重点是第三个句子不好理解，因为我们知道在约束条件变完或，所有的 ，且求和还要为0。那么为什么KKT的条件是这样的呢？
某次的g(x)在为最优解起作用，那么它的系数值（可以）不为0，如果某次g(x)没有为下一次的最优解起作用，那么它的系数就必须为0。
函数间隔 对于给定的训练数据集T合超平面(w,b)，定义超平面(w,b)关于样本点 的函数间隔为
函数间隔可以表示分类预测的正确性及确信度。但是选择超平面时，只有函数间隔是不够的，因子只要成比较改变 和b，超平面并没有改变，但函数间隔却扩大了。
几何间隔 对于给定的训练数据集T和超平面 ，定义超平面 关于样本点 的几何间隔为 ,其中 为 的 范数。
如果 ，那么函数间隔和几何间隔相等。如果超平面参数 成比例地改变（超平面没有改变），函数间隔也成比例改变，而几何间隔不变。
支持向量机的基本想法是求解能够正确分训练数据集并且几何间隔最大的分离超平面。对线性可分的训练数据集而言，线性可分分离超平面有无穷多个（等价于感知机），但是几何间隔最大的分离超平面时唯一的。这里的间隔最大化被称为硬间隔最大化。
间隔最大化的直观解释是：对训练数据集找到几何间隔最大的超平面意味着以充分大的确信度对训练数据进行分类。也就是说，不仅将正负实例点分开，而且对最难分的实例点（离超平面最近的点）也有足够大的确信度将他们分开。这样的超平面应该对未知的新实例有很好的分类预测能力。
下面考虑如何求一个几何间隔最大的分离超平面，即最大间隔分离超平面。具体地，这个问题可以表示为下面的约束最优化问题： 即我们希望最大化超平面 关于训练数据集的集合间隔 ，约束条件表示的是超平面 关于每个训练样本点的集合间隔至少是
考虑几何间隔和函数间隔的关系式，可将这个问题改成为 函数间隔 并不影响最优化问题的解。事实上，假设将 成比例改变为 ,这时函数间隔变成 。函数间隔的改变对最优化问题的不等式约束没有影响，对目标函数的优化也没有影响，也就事实说，它产生一个等价的最优化问题。这样，就可以取 。将 代入上面的最优化问题。注意最大化 和最小化 是一样的。
于是就得到下面的线性可分支持向量机学习的最优化问题 这是一个凸二次规划问题(contex quadratic programming)问题。 凸优问题是指约束最优化问题 其中，目标函数 和约束函数 都是 上的可连续可微的凸函数，约束函数 是 的仿射函数。当木匾函数是 是二次函数且约束函数 是仿射函数时，上述的凸优化问题成为凸二次规划问题。 如果求出约束最优化问题的解 ，那么就可以得出最大间隔分离超平面 及决策函数 ，即线性可分支持向量机模型。
为了求解线性可分支持向量机的最优化问题，将它作为原始最优化问题，应用到拉格朗日对偶性，通过求解对偶问题得到原始问题的最优解，这就是线性可支持向量机的对偶算法(dual algorithm)。这样做的优点，一是对偶问题往往根据容易求解；二是自然引入核函数，进而推广到非线性可分类问题。
首先构建拉格朗日函数(Lagrange function)。为此，对每一个不等式约束引入拉格朗日乘子(Lagrange multiplier) 定义拉格朗日函数： 其中 为拉格朗日乘子向量。
根据拉格朗日对偶性，原始问题的对偶问题是极大极小问题
为了得到对偶函数问题的解，需要先求 对 的极小，再求 的极大 (1)求 将拉格朗日函数 分别对 求偏导数并令其等于0
将（1）代入拉格朗日函数，并利用(2)，即可得 即 (2)求 对 的极，即对偶问题 将公式(3)的目标函数由极大值转换成求极小，就得到下面与之等价的对偶最优化问题
(3)解 假设 是对偶最优化问题的解，则存在下标使得 ，并求按下式求得原始最优化的解
根据KKT条件成立，即得 因此 ,且至少存在一个 ，假设 ,那么 不是原始问题的解,所以
那么分离的超平面可以写成 决策函数可以写成
由此可以看出，分类决策函数只依赖于输入x和训练样本输入的内积，式（8）称为线性可分支持向量机的对偶形式。
案例 训练数据正例点是 ，负例点是 ，试用线性可分支持向量机 解：根据所给数据，对偶问题是
解这一优化问题，将 代入目标函数并记为
对 求偏导令其为0，易知 处取极值，该点不满足约束条件 ，所以最小值应在边界上达到。
当 ，当 ，于是
这样, 对应的实例点 是支持向量，计算可得 ,
分离超平面为 分离决策函数为
线性可分问题的支持向量机学习方法，对线性不可分训练数据是不适用的，因为这时上述方法中的不等式约束不能都成立。 线性不可分意味着不能满足函数间隔大于等于1的约束条件 。为了解决这个问题，对每个样本点 都引入一个松弛变量 ，使得函数间隔加上变量大于等于1，这样约束条件变为 同时对于每个松弛变量 ，支付一个代价 ,目标函数由原来的 变成 C>0为惩罚参数，一般由应用问题解决，C值大时对误分类的惩罚增大，C值小时对误分类的惩罚减小。最小化木匾函数有2层意思：使得 尽量小，即间隔尽量大，同时使误分类点的个数尽量小，C是调和两者的系数
非线性分类问题是指通过非线性模型才能很好地进行分类的问题。非线性问题往往不好求解，希望通过线性分类问题的方法解决这个问题，所采取的方法是进行一个非线性变换，将非线性问题变成线性问题，通过解变换后的线性问题的方法求解原来的非线性问题。
用线性分类方法求解非线性分类问题分两步：首先使用一个变换将原来空间的数据映射到新空间；然后在新空间里用线性分类学习方法从训练数据中学习分类模型。核技巧就属于这样的方法。
设X是输入空间（欧氏空间 的子集或离散集合），又设H为特征向量（希伯而空间H），如果存在一个从X到H的映射 使得对所有 ，函数 满足条件 则称K(x,z)为核函数， 为映射函数， 。通常计算K(x,z)比较容易，而通话 计算K(x,z)并不容易。
是输入空间到特征空间的迎神，特征空间一般是高维的，甚至是无穷维，可以看到，对于给定的核K(x,z)，特征空间H和映射函数 的取法并不唯一，可以取不同的特征空间，即便是在同一特征空间也可以取不同的映射。
在对偶目标函数中的内积 可以用核函数 来代替，此时对偶问题的目标函数成为 这等价于经过映射函数 将原来的输入空间变换到一个新的特征空间，将输入空间中的内积 变换成特征空间中的内积 ，在新的特征空间里从训练样本中学习线性支持向量机。学习是隐式地在特征空间进行的，不需要显式地定义特征空间和营业日函数。在实际应用中，往往依赖领域知识直接选择核函数。
对应的支持向量机是一个p次多项式分类器，在此情形下，分类决策函数成为
对应的支持向量机是高斯径向基函数(radial basis function)分类器。在此情形下，分类决策函数成为
核函数不仅可以定义在欧式空间，还可以定义在离散数据的集合上。比如，字符串核函数是定义在字符串集合上的核函数。字符串核函数在文本分类、信息检索、生物信息学等方面都有应用。
两个字符串s和t上的字符串核函数是基于映射 的特征空间中的内积： 字符串核函数 给出了字符串s和t中长度等于n的所有子串组成的特征向量的余弦相似度。直观上看，两个字符串相同的字串越多，它们就越相似，字符串核函数的值就越大。字符串核函数可以由动态规划快速地计算。
支持向量机的学习问题可以形式化为求解凸二次规划问题，这样的凸二次规划问题具有全局最优解，并且有许多最优化算法可以用于这一问题的求解。但是当训练样本容量很大时，这些算法往往变得非常低效，以至无法使用。
序列最小最优化(sequential minimal optimization,SMO)算法，是一种启发式算法，其基本思路是：如果所有变量的解都满足此最优化问题的KKT条件，那么这个最优化问题的解就得到了。因为KKT条件是该最优化问题的充分必要条件。否则，选择两个变量，固定其他变量，针对这两个变量构建一个二次规划问题。这个二次规划问题的目标是使函数值变得更小。重要的是，这时子问题可以通过解析方法求解，这样就可以大大提高整个算法的计算速度。子问题有两个变量，一个是违反KKT条件最严重的那一个，另一个由约束条件自动确定。如此，SMO算法将原问题不断分解为子问题并对子问题求解，进而达到求解原问题的目的。
假设两个变量是 ，其他变量 是固定的，于是SNO的最优化问题的子问题可以写成。
其中， 是常数，目标函数中省略不含 的常数项。
为了求解两个变量的二次规划问题，约束可以用二维空间中的图形表示
不等式约束(7.3)使得 在盒子[0,C] [0,C]内，等式约束(7.2)使 在平行于盒子[0,C] [0,C]的对角线的直线上。因此要求的是目标函数在一条平行于对角线的线段上最优值。这使得两个变量的最优化问题成为实质上的单变量最优化文图，不访考虑为变量 的最优化问题。
假设初始化可行解为 ，最优化解为 ，并且假设沿着约束方向未经剪辑时 的最优解为
由于 需满足不等式约束(7.3)，所以最优值 的取值范围必须满足条件 其中，L与H是 所在对角线段端点的界，如果 如果 ，则
下面首先要求沿着约束方向未经剪辑即未考虑不等式约束(7.3)时 的最优解 ，然后在解决剪辑后 的解 ，我们用定理来描述这个结果 令
当i=1,2时， 为函数g(x)对输入 的预测值与真实输出 之差
定理 最优化问题(7.1)~(7.3)沿着约束方向未经剪辑时的解是 其中 是输入空间到特征空间的映射
经剪辑后的 的解是 由 是
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